Sobrevivir el Puente de Cristal en Squid Game

"Squid Game" se caracteriza por presentar una serie de juegos mortales muy variados y uno de ellos se trata del 5º juego de la primera temporada denominado "Puente de Cristal" en el que la probabilidad y el azar es la principal mecánica a la que los jugadores (endeudados) son sometidos.

1. Reglas y funcionamiento (Parámetros del Sistema)

 En el desafío del puente de cristal, los participantes deben cruzar un puente formado por dos filas de diecisiete paneles de vidrio. Los paneles están colocados uno al lado del otro y, en cada pareja, uno está hecho de vidrio templado y el otro de vidrio frágil, que se rompe cuando alguien lo pisa, provocando la muerte del jugador.

Los jugadores eligen un número de orden antes de comenzar el juego y avanzan uno por uno con el objetivo de cruzar el puente de forma segura. Cuando la primera persona es eliminada, la segunda continúa siguiendo sus pasos, y así sucesivamente.

2. Probabilidades de supervivencia

En esta situación, la probabilidad de que la primera persona complete los diecisiete pasos sin pisar nunca un panel frágil es

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{17} \approx 7.6\times10^{-6}$$

es decir, una probabilidad prácticamente insignificante.

Por otro lado, los jugadores con números de orden 18 o superiores están obviamente a salvo, porque incluso si los primeros 17 jugadores eligieran siempre el panel incorrecto, el camino quedaría completamente descubierto gracias a ellos.

La pregunta es:

• ¿Cuáles son las probabilidades de supervivencia de los jugadores intermedios?
• ¿Qué jugador tiene más posibilidades de ser el primero en cruzar el puente?

Sea $n$ el número total de pasos y sea $1/m$ la probabilidad de equivocarse en cada paso.

Entonces, el número de errores $x$ sigue una distribución binomial:

$$x \sim \text{Binom}\left(n,\frac{1}{m}\right)$$

La probabilidad de que el jugador $k$ sea el primero en llegar al final del puente equivale a que exactamente $k-1$ jugadores hayan cometido un error antes que él:

$$Pr(\text{jugador }k\text{ termina primero}) = Pr(x=k-1) = \binom{n}{k-1} \left(\frac{1}{m}\right)^{k-1} \left(1-\frac{1}{m}\right)^{\,n-(k-1)} \tag{1}$$

Y la probabilidad de supervivencia para el jugador $k$ es:

$$Pr(k\text{ sobrevive}) = Pr(x<k) = \sum_{x=0}^{k-1} \binom{n}{x} \left(\frac{1}{m}\right)^x \left(1-\frac{1}{m}\right)^{n-x} \tag{2}$$

El número esperado del primer jugador que consigue cruzar el puente es:

$$1+E(x) = 1+\frac{n}{m}$$

​

Para el caso mostrado en la serie:

$$n=17, \qquad m=2$$

por lo que

$$1+\frac{17}{2} = 9.5$$

Este valor coincide además con el promedio de los dos modos de la distribución binomial

$$\text{Binom}(17,0.5)$$

cuyos máximos se encuentran en

$$k=9 \quad\text{y}\quad k=10.$$

Gráfico: Probabilidades de supervivencia y de ser el primero en cruzar el puente en el desafío del Puente de Cristal, cuando el número de pasos es

y la probabilidad de cometer un error es

3. Conclusiones

Los resultados muestran que:

• Si quieres maximizar tus probabilidades de supervivencia, te conviene estar al final de la fila.
• Si quieres maximizar tus probabilidades de ser el primero en cruzar, te conviene ocupar la posición 9 o 10.
• Los primeros jugadores actúan esencialmente como exploradores que descubren el camino para los demás.
• Los últimos jugadores se benefician de toda la información obtenida por quienes fueron eliminados antes.

Trabajo relacionada con la ODS1 (fin de la pobreza)