El show de Truman: una mentira no tan perfecta

 En El show de Truman, Truman Burbank vive dentro de un enorme plató de televisión sin saber que toda su vida forma parte de un programa. Todo está controlado: sus vecinos, su trabajo, las calles, los horarios e incluso muchas de sus relaciones. Sin embargo, aunque el sistema parezca perfecto, siempre existe la posibilidad de que ocurra algún error: una cámara mal escondida, un actor que se equivoca, una conversación rara o un objeto del plató que Truman no debería ver.

Esta situación se puede relacionar con la distribución binomial, porque cada día podemos plantearlo como un experimento con dos resultados posibles:

• Truman descubre un fallo.
• Truman no descubre ningún fallo.

Si suponemos que cada día hay un 3% de probabilidad de que Truman detecte algún error del plató, entonces:

$$p = 0,03$$

Y si analizamos un mes de 30 días, entonces:

$$n = 30$$

La variable aleatoria sería:

$$X = \text{número de días en los que Truman descubre un fallo}$$

Por tanto:

$$X \sim B(30,\ 0,03)$$

La fórmula de la distribución binomial es:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Donde:

$$n = 30$$
$$p = 0,03$$
$$k = \text{número de fallos descubiertos}$$

Por ejemplo, podemos calcular la probabilidad de que Truman descubra exactamente un fallo en un mes:

$$P(X = 1) = \binom{30}{1} \cdot 0,03^1 \cdot 0,97^{29}$$ $$P(X = 1) = 30 \cdot 0,03 \cdot 0,97^{29}$$ $$P(X = 1) \approx 0,372$$

Es decir, habría aproximadamente un 37,2% de probabilidad de que Truman descubra exactamente un fallo durante un mes.

Pero lo más interesante es calcular la probabilidad de que descubra al menos un fallo. Eso sería:

$$P(X \geq 1)$$

Para calcularlo, usamos el caso contrario: que no descubra ningún fallo.

$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$$

Calculamos primero:

$$P(X = 0) = \binom{30}{0} \cdot 0,03^0 \cdot 0,97^{30}$$

Como:

$$\binom{30}{0} = 1$$

y:

$$0,03^0 = 1$$

queda:

$$P(X = 0) = 0,97^{30}$$
$$P(X = 0) \approx 0,401$$

Ahora:

$$P(X \geq 1) = 1 - 0,401$$
$$P(X \geq 1) = 0,599$$

Por tanto, Truman tendría aproximadamente un 59,9% de probabilidad de descubrir al menos un fallo en un mes.

Esto demuestra que mantener una mentira perfecta durante mucho tiempo es muy difícil. Aunque la probabilidad diaria de error sea pequeña, al repetirse durante muchos días la probabilidad de que ocurra al menos un fallo aumenta bastante. El plató puede estar muy bien organizado, pero si cada día existe una pequeña posibilidad de equivocación, tarde o temprano la estadística empieza a jugar en contra del programa.